Bu tez yedi bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, kesir mertebeli türev ve doğuran çekirdekli Hilbert uzayı metodu hakkında tarihsel gelişim ve literatür taraması verilmiştir. İkinci bölümde, tez çalışmasında kullanılacak olan temel tanım, teorem ve ön bilgiler verilmiştir. Üçüncü bölümde, Bagley-Torvik denkleminin klasik doğuran çekirdekli Hilbert uzayı ve Legendre doğuran çekirdekli Hilbert uzayı metodu kullanılarak nümerik çözümleri elde edilmiştir. Dördüncü bölümde, Troesch denkleminin nümerik çözümlerini elde etmek için klasik doğuran çekirdekli Hilbert uzayı ve Legendre doğuran çekirdekli Hilbert uzayı metodu kullanılmıştır. Beşinci bölümde, lineer olmayan çoklu mertebeden kesirli türev içeren çok noktalı başlangıçsınır değer problemlerinin nümerik çözümlerini elde etmek için ek baz kullanılarak Legendre doğuran çekirdekli Hilbert uzayı metodu uygulanmıştır. Altıncı bölümde, lineer ve lineer olmayan Volterra ve Fredholm integro-diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri için ek baz yöntemiyle Legendre doğuran çekirdekli Hilbert uzayı metodu kullanılmıştır. Son bölümde, tartışma, sonuç ve değerlendirme yapılmıştır.
This thesis consists of seven chapters. In the first chapter, the historical development and literature review about the fractional derivative and the reproducing kernel Hilbert space method are given. In the second chapter, some definitions, theorems and preliminaries are given for use the following chapters. In the third chapter, numerical solution of Bagley-Torvik equation is obtained by using classical reproducing kernel Hilbert space method and Legendre reproducing kernel Hilbert space method. In the fourth chapter, numerical solutions of the Troesch equation, are obtained by using classical reproducing kernel Hilbert space method and Legendre reproducing kernel Hilbert space method. In the fifth chapter, numerical solutions of multi-order fractional nonlinear three-point boundary value problems are obtained by using the Legendre reproducing kernel Hilbert space method with additional basis. In the sixth chapter, Legendre reproducing kernel Hilbert space method with by using additional basis is used to achieve numerical solution of linear and non-linear Volterra and Fredholm integro-differential equations. Finally, last chapter is consist of discussion and conclusion which is an evaluation of the thesis.
