Bazı fark denklem sistemlerinin çözümleri ve çözümlerinin davranışları üzerine

Abstract

Bu tez çalışması altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde fark denklemleri ile ilgili genel bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde, fark denklemleri ve fark denklem sistemleri ile ilgili literatürde yapılmış olan çalışmalardan bahsedilmiştir. Ayrıca fark denklemleri ve fark denklem sistemleri ile ilgili bazı tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde, x_{n}=\frac{x_{n-k}y_{n-l}}{bx_{n-k}+ay_{n-k-l}}, \ y_{n}=\frac{y_{n-k}z_{n-l}}{dy_{n-k}+cz_{n-k-l}}, \ z_{n}=\frac{z_{n-k}x_{n-l}}{fz_{n-k}+ex_{n-k-l}}, \ n\in \mathbb{N}_{0} fark denklem sistemi tanımlanarak çözümleri elde edilip çözümlerinin asimptotik davranışı incelenmiştir. Dördüncü bölümde, x_{n+1}=y_{n}^{\alpha}z_{n-1}^{\beta}, \ y_{n+1}=z_{n}^{\gamma}t_{n-1}^{\delta}, \ z_{n+1}=t_{n}^{\epsilon}x_{n-1}^{\mu}, \ t_{n+1}=x_{n}^{\xi}y_{n-1}^{\rho}, \ n\in \mathbb{N}_{0} sisteminin kapalı formda çözülebilirliği gösterilip bazı özel durumlar için de çözümler elde edilmiştir. Beşinci bölümde, üçüncü bölümdeki fark denklem sistemi ile ilgili elde edilen özellikleri destekleyen nümerik örnekler verilmiştir. Altıncı bölümde ise sonuç ve öneriler verilmiştir.

This study consists of six chapters. In the first chapter, the general information about the difference equations is given. In the second chapter, studies in literatüre on difference equations and systems of difference equations are mentioned. Also, some definitions and theorems are given about difference equations and system of difference equations. In the third chapter, system of difference equation x_{n}=\frac{x_{n-k}y_{n-l}}{bx_{n-k}+ay_{n-k-l}}, \ y_{n}=\frac{y_{n-k}z_{n-l}}{dy_{n-k}+cz_{n-k-l}}, \ z_{n}=\frac{z_{n-k}x_{n-l}}{fz_{n-k}+ex_{n-k-l}}, \ n\in \mathbb{N}_{0} is defined, its solutions are obtained and the asymptotic behavior of the solutions is investigated. In the fourth chapter, solvability of system of difference equation x_{n+1}=y_{n}^{\alpha}z_{n-1}^{\beta}, \ y_{n+1}=z_{n}^{\gamma}t_{n-1}^{\delta}, \ z_{n+1}=t_{n}^{\epsilon}x_{n-1}^{\mu}, \ t_{n+1}=x_{n}^{\xi}y_{n-1}^{\rho}, \ n\in \mathbb{N}_{0} is shown and general solution is obtained for some special cases. In the fifth chpater, numerical examples supporting the obtained properties related to the system of difference equations studied in the third chapter are given. In the sixth chapter, results and discussions are given.