Grafların bazı cebirsel yapıları üzerine

Abstract

Son yıllarda cebirsel yapıların özellikleri üzerine graf tanımlamaları, elde edilen graf türlerinin sınıflandırmaları ve özellikleri ilginç araştırma konularından biri haline gelmiştir. Dolayısıyla "Sıklıkla kullanılan cebirsel yapılardan grup veya halkanın farklı elemanları üzerine graf tanımlanabilir mi? Eğer graf yapısı elde edilirse hangi graf ailesine ait olur? Elde edilen grafların, graf parametreleri, matrisleri ve spektrumları belirlenebilir mi? Cebirsel olarak halka veya grupların alt grup, alt halka yapıları oluşurken grafların alt grafları oluşturulabilir mi? Benzer cebirsel yapıların grafları arasında da benzer yapılar oluşur mu?" sorularını doğurmuştur. Merak uyandıran bu sorular doğrultusunda bazı graf tanımlamaları yapılmıştır. Sıfır-bölen graflar, nilpotent graflar, nilradikal ve non-nilradikal graflar, total graflar ve birim graflar gibi halka üzerine tanımlı birçok graf yapısı literatüre kazandırılmıştır. Bu tez çalışmasında tam sayılar halkası üzerinde nilpotent, total ve birim grafların analog yeni graf yapıları tanımlanmış ve spektral incelemesi yapılmıştır. 2. bölümde graf parametreleri ve halka parametreleri ile ilgili temel tanım ve kavramlar derlenmiştir. 3. bölümde sıfır-bölen, nilpotent, nilradikal, non-nilradikal, total ve birim graf yapısı ve bu grafların bazı sınıflandırmalarına dair literatürde yer alan bilgiler verilmiştir. 4. bölümde ise tam sayılar halkası üzerinde inşa edilen nilpotent, total ve birim grafların analog graf yapıları ve spektral özellikleri ile ilgili sonuçlar elde edilmiştir.

In recent years, graph definitions on algebraic structures, classifications of obtained graph types, and their properties have become interesting research topics concerning the properties of algebraic structures. Consequently, the question of whether graphs can be defined on different elements of frequently used algebraic structures such as groups or rings has emerged. If a graph structure is obtained, to which graph family does it belong? Can the graph parameters, matrices and spectra of the obtained graphs be determined? Can graphs be formed as subgraphs of algebraic structures such as subgroups or subrings? Do similar structures emerge among the graphs of similar algebraic structures? These questions have raised curiosity and led to the formulation of certain graph definitions. Various graph structures defined on rings, such as zero-divisor graphs, nilpotent graphs, nilradical and non-nilradical graphs, total graphs and unit graphs have been introduced in the literature. In this thesis study, new graph structures analogous to nilpotent, total and unit graphs over the ring of integers are defined and their spectral analysis is performed. In the second chapter, fundamental definitions and concepts related to graph parameters and ring parameters are compiled. The third chapter provides information from the literature about zero-divisor, nilpotent, nilradical, non-nilradical, total and unit graph structures and some classifications of these graphs. In the fourth chapter, results regarding the analog graph structures and spectral properties of nilpotent, total and unit graphs constructed over the ring of integers are obtained