Çizgelerde dışmerkezlilik matrisi ve spektrası

Abstract

Günümüzde çizge kuramı, hem teorik (kuramsal) hem de pratik düzeyde yalnızca muazzam büyüklükte değil, aynı zamanda olağanüstü zenginlik ve karmaşıklık ile karşımıza çıkar. Matematiksel Kimya alanında önemli katkıları bulunan Milan Randić, 2013 yılında ilginç bir makale kaleme almıştır. Bu makale ile kimyada moleküler tanımlayıcılar olarak isimlendirilen kavramların çizge değişmezleri ile ifade edilmelerine olanak sağlamıştır. Aslında tanımlanan matris dışmerkezlilik (zıt komşuluk) matrisidir. Bu bakış açısı ile birlikte komşuluk ve dışmerkezlilik matrisleri mesafe temelli çizge matris ailesi içerisinde uç bölgelerde yer alır (min-maks ilişkisi). Çizge matrisleri üzerine çalışma yapan her araştırmacının karşılaştığı komşuluk ve mesafe matrisleri spektral çizge kuramında geniş bir çalışma sahasına sahiptir. Bu tez çalışmasında çizge kuramının çoklu disiplinler açısından önemi, dışmerkezlilik matrisinin çizge-mesafe sorunsalı, spektral çizge kuramı içerisindeki yeri ve spektral karakterizasyon çalışması yapılmıştır. 2, 3 ve 4. bölümlerde Çizge Kuramı ve Spektral Çizge Kuramı ile ilgili temel tanım ve kavramlar etimolojik olarak belli bir düzene göre geniş bir biçimde verilmiştir. 5. bölümde dışmerkezlilik matrisi ile ilgili spektral çalışmalar kronolojik olarak sıralanmıştır. Ayrıca tarafımızdan literatüre kazandırılan özgün sonuçlar alt bölümde detaylı olarak verilmiştir. 6. bölümde açık problemler, gözlemler ve yorumlara dair varsayımlar yer almaktadır.

Graph theory today appears not only of enormous magnitude, but also of extraordinary richness and complexity, both on a theoretical and practical level. Milan Randić, who has made important contributions to the field of Mathematical Chemistry, has written an interesting article in 2013. With this article, it has enabled the concepts called molecular descriptors in chemistry to be expressed with graph invariants. Actually, the defined matrix is the eccentricity (anti-adjacency) matrix. With this point of view, adjacency and eccentricity matrices are located in the extreme regions of the distance-based graph matrix family (in terms of minimum and maximum). Adjacency and distance matrices encountered by every researcher working on graph matrices have a wide field of study in spectral graph theory. In this thesis, the importance of graph theory in terms of multi-disciplines, the graph-distance problem of the eccentricity matrix, its place in spectral graph theory and spectral characterization studies have been presented. In chapters 2, 3 and 4, basic definitions and concepts related to Graph Theory and Spectral Graph Theory are given in a broad etymological order. In Chapter 5, spectral studies on the eccentricity matrix are listed chronologically. Also, the original results, which has been brought to the literature by us, are given in detail in the subsection. Chapter 6 contains open problems, observations and conjectures related to the eccentricity matrix.