Bazı fark denklemlerinin çözülebilirliği ve çözümlerinin davranışları

Abstract

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde fark denklemlerinin önemi ve uygulama alanı ile ilgili genel bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde, bazı fark denklemlerinin ve sistemlerinin çözülebilirliği ve çözümlerinin asimptotik davranışları hakkında bilgiler verildi. Ayrıca fark denklemleri ile ilgili genel tanım ve teoremlere de yer verildi. Üçüncü bölümde, (a_{n}) ve (b_{n}) iki reel dizi ve x_{-6}, x_{-5},...,x_{-1} başlangıç şartları reel sayılar olan x_{n}_\frac{x_{n-4}x_{n-5}x_{n-6}}{x_{n-1}x_{n-2}(a_{n}+b_{n}x_{n-3}x_{n-4}x_{n-5}x_{n-6})} rasyonel fark denkleminin çözülebildiği gösterildi. Daha sonra (a_{n}) ve (b_{n}) dizileri sabit olduğu durumlar için, yani a_{n}=a ve b_{n}=b lineer olmayan x_{n}_\frac{x_{n-4}x_{n-5}x_{n-6}}{x_{n-1}x_{n-2}(a+bx_{n-3}x_{n-4}x_{n-5}x_{n-6})} fark denkleminin çözülebilir olduğu gösterildi. Ayrıca, aynı durumlar için iyi tanımlı çözümlerin davranışları incelendi. Son bölümde ise elde edilen sonuçların bazı nümerik uygulamaları verildi.

This study consists of four sections. In the first section, the general information about the importance of difference equations and its application areas is given. In the second section, information about the solvability of some difference equtions and systems and the asymptotic behaviour of the solutions was given. In addition, general definitions and theorems for difference equations were given. In the third section, firstly, it was shown that the the rational difference equation x_{n}_\frac{x_{n-4}x_{n-5}x_{n-6}}{x_{n-1}x_{n-2}(a_{n}+b_{n}x_{n-3}x_{n-4}x_{n-5}x_{n-6})} where (a_{n}) and (b_{n}) are two real sequences and the initial values x_{-6}, x_{-5},...,x_{-1} are real numbers, can be solved. Later, it was shown that the nonlinear difference equation for the case when (a_{n}) and (b_{n}) sequences are constant, that is a_{n}=a and b_{n}=b, can be solved. Asymptotic behaviour of well defined solutions for same cases is also investigated. In the last section, some numerical applications of obtained results are given.