Spektral graf teori, graflara ilişkin matrislerin spektral özellikleri ile graf yapısı arasındaki ilişkileri inceleyen ve anlamlandıran bir disiplindir. İlk kez Chen 2003 de R bir halka ve N(R) kümesi halkanın bütün nilpotent elemanların kümesi olmak üzere, R halkası üzerinde R' nin bütün elemanlarını noktalar kabul eden ve "x ve y noktalarının komşu olması için gerek ve yeter koşul xy∈ N(R)" önermesini sağlayacak şekilde yeni bir graf yapısı tanımlamıştır. Son yıllarda bu yapıya benzer graflar inşa edilerek kapsamlı çalışmalar yapılmıştır. Fakat bu graf yapıların spektraları üzerine hemen hemen hiç çalışma bulunmamaktadır. Bu tez çalışmasında tam sayılar halkasında nilpotent grafların Laplasyan spektral incelemesi yapılmıştır. 2. bölümde graf parametreleri ve halka parametreleri ile ilgili temel tanım ve kavramlar derlenmiştir. 3. bölümde nilpotent graf yapısı ve nilpotent grafların bazı sınıflandırmalarına dair literatürde yer alan bilgiler verilmiştir. 4. bölümde ise tam sayılar halkası üzerinde inşa edilen nilpotent grafların Laplasyan spektral özellikleri ile ilgili bazı sonuçlar elde edilmiştir.
Spectral graph theory is a discipline that explores and makes sense of the relationship between the spectral properties of graph matrices and graph structures. Firstly in 2003, Chen has defined a new graph which all the elements of R are considered to be vertices on the ring and satisfied the proposition "xy∈N(R) iff x and y are adjacent" such that R is a ring and N(R) is a set of all nilpotent elements of the rings. In recent years, extensive studies have been done by constructed similar definitions. However, there is almost no study on the spectra of these graphs. In this thesis, Laplacian spectral studies of the nilpotent graphs on the integer rings have been examined. In the second section, basic definitions and concepts related to graph parameters and ring parameters are compiled. In the third section, some informations on the nilpotent graph structure and some classifications of nilpotent graphs are given in the literature. In the last section, some results have been obtained about the Laplacian spectral properties of the nilpotent graphs built on the rings of integers.
