Bazı lineer ve lineer olmayan adi diferansiyel denklemlerin ardışık tümler açılım metodu ile nümerik çözümleri

Abstract

Matematik problemleri, fiziksel olayların matematiksel modellemesidir. Bu problemlerin tam çözümlerinin bulunabilmesi her zaman mümkün olmamaktadır. Çözümler için bilgisayar kullanımının yanı sıra asimptotik açılımlar yardımıyla yaklaşım sağlanabilir. Ancak asimptotik açılımlar geçtiğimiz yüzyıldan bu yana uygulamalı matematik, mühendislik bilimleri ve özellikle akışkanlar mekaniğinde önemli yer tutmaktadır. Yaklaşım metotları arasında başta gelen metot, pertürbasyon (asimptotik) metodudur. Bu tekniğe göre çözüm bir asimptotik açılımın ilk birkaç terimi tarafından sunulur. Bu tezde genelleştirilmiş asimptotik genişlemelere dayanan ardışık tümler açılım metodu (SCEM) adı verilen etkili bir yöntem kullanıldı. İyi bilinen yöntem eşleştirilmiş asimptotik açılımlar metodu (MMAE) nin aksine, SCEM ile daha geçerli yaklaşımlar elde edildi. MMAE yöntemine göre SCEM ile tam çözüme daha yakın çözümler elde edildi. Bu tez çalışmasının asıl amacı diferansiyel denklemlerin çözümlerine asimptotik yaklaşımlar oluşturmaktır. Ardışık tümler açılım metodu ile verilen adi diferansiyel denklemlerin çözümlerine yakın sonuçlar ile birlikte yöntemin etkinliği bazı sayısal denemeler, tam çözümler ve MMAE gibi diğer mevcut yöntemlerle karşılaştırmalar yoluyla gösterilmiştir. Yöntemin işleyişi, örnekler üzerinde ayrıntılı olarak derlendi. Bunun için öncelikle eşleştirilmiş açılımlar metodunun (MMAE) üzerinde duruldu, daha sonra ardışık tümler açılım metodu (SCEM) ayrıntılı olarak incelendi. Sonuç olarak, SCEM yönteminin MMAE yöntemine göre daha avantajlı ve tam çözüme daha yakın sonuçlar elde edildiği görüldü.

Mathematical problems are mathematical modeling of physical phenomena. It is not always possible to find exact solutions of these problems. Solutions can be accessed by using asymptotic expansions as well as computer usage. However, asymptotic expansions have played an important role in applied mathematics, engineering sciences, and fluid mechanics since the past century. The main method of approach is the perturbation (asymptotic) method. According to this method the solution is presented by the first few terms of an asymptotic expansion. In this thesis, an effective method called Successive Complementary Expansion Method (SCEM) based on generalized asymptotic expansions was used. Unlike the well-known Method of Matched Asymptotic Expansions (MMAE), more valid approaches were obtained with SCEM. According to the MMAE method, exact solutions were obtained with SCEM. The main purpose of this thesis is to develop asymptotic approaches to the solution of differential equations. The efficiency of the method, along with the results close to the solutions of the ordinary differential equations given by the consecutive solutions method, has been demonstrated by comparison with some existing numerical experiments, exact solutions and other existing methods such as MMAE. The function of the method has been compiled in detail on the samples. For this, the MMAE was firstly emphasized, then the successive method of opening all the scales SCEM was examined in detail. As a result, it is abserved that the SCEM method was more advantageous than the MMAE method and more exact solution was obtained.