Yönlü ve yönsüz grafların enerjisi

Abstract

Bir grafın enerjisi grafın temsil ettiği komşuluk matrisinin mutlak değerlerinin toplamıdır. Bu kavram ilk olarak 1978 yılında Ivan Gutman tarafından ortaya koyulmuştur. Bu tezde yönlü ve yönsüz grafların enerjisinin geniş bir biçimde çalışılması amaçlanmıştır. Çalışmanın ikinci bölümünde, graf teorisi ve lineer cebir üzerine temel kavramlar tanıtılmıştır. Aynı zamanda bu iki teori arasında önemli bağıntılarda verilmiştir. Üçüncü bölümde, graf enerjisi için alt ve üst sınırlar geniş bir biçimde incelenmiştir. Bu sınırlar literatürde enerji ile ilgili birçok açık problemin çözülmesi için oldukça kullanışlıdır. Son zamanlarda bir çok araştırmacı maksimal ve minimal enerjili graflarla ilgilenmişlerdir. Yani, "hangi graflar maksimal veya minimal enerjiye sahiptir?" sorusuna olumlu cevaplar aramışlardır. Bu noktada tezin dördüncü ve son bölümünde minimal veya maksimal enerjili bazı bilinen graflar karakterize edilmiştir. Üstelik yukarıda belirtilen soruyla ilgili bazı açık problemler de verilmiştir.

The energy of a graph is the sum of the absolute values of the eigenvalues of its adjacency matrix. This concept is first brought to mathematics by Ivan Gutman in 1978. In this thesis, it is aimed to do an extensively study on energy of directed and undirected graphs. In the 2nd section of this study, basic concepts on graph theory and linear algebra are introduced. Simultaneously, some important relations between them are introduced. In the 3rd section, some known upper and lower bounds on graph energy for directed and undirected graphs are given. These bounds are useful for getting the solution of some open problems about the energy in the literature. Recently, researchers interest in graphs with maximal and minimal energy. That is; they search affirmative answer on the question "Which graphs have maximal or minimal energy?". In this point, it is focused this question. In the last section of the study, the class of known graphs with maximal or minimal energy are characterizated. Moreover, some open problems on the question are mentioned in the section.